如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=DH；④S△ABE=3S△AGE

网友回答

D
解析分析：由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到AD与BC平行且相等，又E和F分别为AD与BC的中点，利用等量代换得到ED与BF相等，且平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到DEFB为平行四边形，从而得到对边DF与BE相等，选项①正确；由DF与EB平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AEG与三角形ADH相似，且相似比为1：2，故得到G为AH中点，同理得到H为CG中点，即可得到AG=GH=HC，选项②正确；从而得到EG为三角形ADH的中位线，根据中位线性质得到EG等于DH的一半，选项③正确；由AD与BC平行得到两对内错角相等，从而得到三角形AEG与三角形GCB相似，且相似比为1：2，得到EG与GB之比为1：2，根据三角形AEG与三角形AGB底边分别为EG与GB时，高相同，故两三角形面积之比为1：2，从而得到S△ABE=3S△AGE．故选项④正确，从而得到正确选项的个数为4个．

解答：解：如右图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，BE=DF，选项①正确；∵E、F是AD、BC中点，∴DE=AD，BF=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE∥DF，BE=DF，∴∠AEG=∠ADH，∠AGE=∠AHD，∴△AEG∽△ADH，又AE：AD=1：2，∴AG：AH=1：2，即G为AH中点，∴EG为△ADH的中位线，∴EG=DH，选项③正确；同理H为CG的中点，HF也为△BCG的中位线，∴AG=GH=CH，选项②正确；又AD∥BC，∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠GBC，∴△AEG∽△BCG，又AE：BC=1：2，∴EG：GB=1：2，∵△AEG和△AGB分别以EG和GB为底边时，高相同，∴两三角形的面积之比也等于1：2，即2S△ABG=S△AGB，∴S△ABE=3S△AGE，选项④正确，则正确的结论有4个．故选D

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，本题属于结论开放型题，由已知一定的条件，需探求问题的结论，解题的方法也多样化，解决此类问题往往采用执因索果，逐步推理的方法．