△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）．（1）求证：△ABC是

网友回答

（1）证明：∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0）
∴（a+c）2-2a（a+c）+b2=0
∴a2+2ac+c2-2a2-2ac+b2=0
∴b2+c2=a2．
由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形；

（2）解：①如图所示；
∵S△MNP=3S△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON．
又M（a+c，0）
∴
∴a+c，是方程x2-2ax+b2=0的两根
∴3．
∴
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得．
∴
②能．
由（1）知y=x2-2ax+b2=x2-2ax+a2-c2=（x-a）2-c2
∴顶点D（a，-c2）
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM，DN=DM
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=MN=EM．
∵M（a+c，0）D（a，-c2）
∴DE=c2EM=c
∴c2=c又c＞0，
∴c=1
∵c=ab=a
∴a=b=．
∴当a=，b=，c=1时，△MNP为等腰直角三角形．
解析分析：（1）已知抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0），根据勾股定理可得△ABC为直角三角形．
（2）由S△MNP=3S△NOP得出MO=4ON．又可推出点N的坐标，可求出a与c的等量关系式．令ED=MN=EM，可得a，b与c的关系．

点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及等腰直角三角形的判定和三角函数的运用，难度较大．