有4个工厂A、B、C、D，且AB=akm，BC=km，CD=km，∠ACB=90°，∠BCD=120°．现在要找一个供应站H的位置，使它到4个工厂的距离和HA+HB+HC+HD为最小，说明道理，并求出最小值．
网友回答
解：根据题意作图有两种情况：
（1）A、B、C、D四点构成凸四边形，
连接AC、BD其交点H为所求供应站的位置，任取一点H′，就有H′A+H′C＞AC=HA+HC，
H′B+H′D＞BD=HB+HD，两式相加得：H′A+H′C+H′B+H′D＞HA+HB+HC+HD，所以H点到A、B、C、D的距离和为最小．
可求得AC==．过D作DE⊥BC的延长线，垂足为E．易知∠DCE=60°
∴CE=DC?cos60°=，∴DE2=BC2-CE2=BD2-（BC+EC）2=BD2-，
∴BD2=+=，
∴BD=+．
∴HA+HB+HC+HD的最小值为BD+AC=（+）a．
（2）凹四边形．
连接AC，H点与C点重合，即C点为所求供应站的位置．不妨任取一点H′，若H′在DC、AC延长线所夹的角内，就有H′A+H′D＞HA+HD，H′B+H′C＞CB．
故得：H′A+H′C+H′B+H′D＞AC+CD+CB=HA+HB=HC=HD．
若H′在AC、BC延长线或BC、DC延长线所夹的角内，或在AC、BC、CD的延长线上，均可证得上述结论，
所以C点为所求H点位置．
AC==．
∴HA+HB+HC+HD的最小值为CA+CB+CD=．
解析分析：找到AC．BD交点H，求证H到到A、B、C、D的距离和为最小．根据勾股定理计算AC，求证HA+HB+HC+HD=BD+AC．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中讨论四边形ABCD为凸四边形还是凹四边形是解本题的关键．