设I为三角形ABC的内心,当AB=AC=5,BC=6时,向量AI=x向量AB+y向量BC,求实数x,

网友回答

这是一个等腰三角形,顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高三线合一,所以 BD=DC .
因为 BC^2=(AC-AB)^2=AC^2+AB^2-2AB*AC=25+25-2AB*AC=36 ,
所以解得 AB*AC=7 .
由已知,AI = xAB+yBC=xAB+y(AC-AB)=(x-y)*AB+y*AC ,
因为 AB=AC ,所以 x-y=y ,则 x=2y ,
由勾股定理得 AD=4 ,所以 S=1/2*BC*AD=12 ,
所以 ID=r=2S/(AB+BC+CA)=24/16=3/2 ,
因此 AI=4-3/2=5/2 ,
所以,由 AI^2=y^2*(AB+AC)^2=y^2*(AB^2+AC^2+2AB*AC) 得
25/4=y^2*(25+25+14) ,
解得 y=5/16 ,进而得 x=5/8 .
或者这样更简单：
由勾股定理得 AD=4 ,面积=12 ,内切圆半径 r=3/2 后,
AI=5/2 ,因此向量 AI = 5/8*AD ,
而 AI=xAB+yBC=xAB+2yBD ,AD=AB+BD ,
因此 xAB+2yBD=5/8*(AB+BD) ,
比较系数可得 x=5/8 ,2y=5/8 ,y=5/16 .