解答题已知函数f（x）=（1+x）ln2（x+1）-x2，g（x）=．
（Ⅰ）判定f（x）在（0，1]上的单调性；
（Ⅱ）求g（x）在（0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若?n∈N*，（n+a）ln（1+）≤1，求实数a的取值范围．
网友回答
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（1+x）ln2（x+1）-x2，（x＞-1）．
∴f′（x）=ln2（x+1）+2ln（x+1）-2x．
令h（x）=ln2（x+1）+2ln（x+1）-2x，
则h′（x）=．
设u（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，1]，
则，
∴u（x）在（0，1]上单调递减，∴u（x）＜u（0）=0．
∴，
∴h（x）在（0，1]上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，
∴f′（x）在（0，1]上单调递减，∴f′（x）＜f′（0）=0，
∴f（x）在（0，1]上单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（1）≤f（x）＜f（0）=0，即f（x）=（1+x）ln2（x+1）-x2，
∴=，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，于是g（1）≤g（x）＜g（0），
∴g（x）在（0，1]上的最小值为g（1）=．
（Ⅲ）∵?n∈N*，，
∴，
?令Φ（n）=，∈（0，1]，
则Φ（x）=，x∈（0，1]．
由（Ⅱ）可知：Φ（x）在（0，1]上的最小值为，
故Φ（n）的最小值为．
∴a的取值范围为．解析分析：（Ⅰ）利用多次求导即可得出；（Ⅱ）通过求导，再利用（Ⅰ）的结论即可求出；（Ⅲ）变形后利用（Ⅱ）的结论即可．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性与极值是解题的关键．