如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下

网友回答

C

解析分析：①由于外心是三角形三边中垂线的交点，显然点E是AB、BP两边中垂线的交点，因此符合△ABP外心的要求，故①正确；②此题要通过①的结论来求，连接AE，根据三角形的外心的性质可知：AE=PE=BE，即∠EPA=∠EAP，∠EAB=∠EBA，再结合三角形的内角和定理进行求解即可；③此题显然要通过相似三角形来求解，由于OA=OB，那么可通过证△OEB∽△CPB来判断③的结论是否正确；④此题较简单，过E作EM⊥OC，交AC于M，那么MC=CE，因此所求的结论可转化为证PM是否为定值，观察图形，可通过证△PEM、△BEC是否全等来判断．

解答：①∵CO为等腰Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CO垂直平分AB；又∵DE平分PB，即E点是AB、BP两边中垂线的交点，∴E点是△ABP的外心，故①正确；②如图，连接AE；由①知：AE=EP=EB，则∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，由三角形内角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，∴△PEB是等腰直角三角形；故②正确；③∵∠PBE=∠ABC=45°，∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，又∵∠EOB=∠PCB=90°，∴△BPC∽△BEO，得：，即PC?OB=OE?BC?PC?OA=OE?BC；故③错误；④过E作EM⊥OC，交AC于M；易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，又∵EC=ME，PE=BE，∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不变，故④正确；因此正确的结论是①②④，故选C．

点评：此题主要考查了三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质、全等三角形及相似三角形的相关知识等，综合性强，难度较大．