如图,抛物线y＝a（x－h）的平方＋k经过点A（0,1）,且顶点坐标为B（1,2）,它的对称轴与x轴交于点C（1）求此抛物线的解析式（2）在第一象限内的抛物线上求点P,使得三角形ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点,若是,请说明理由,若不是,请求出符合条件的点,
网友回答
（1）∵抛物线y=a（x-h）2+k顶点坐标为B（1,2）,
∴y=a（x-1）2+2,
∵抛物线经过点A（0,1）,
∴a（0-1）2+2=1,
∴a=-1,
∴此抛物线的解析式为y=-（x-1）2+2或y=-x2+2x+1；
（2）∵A（0,1）,C（1,0）,
∴OA=OC,
∴△OAC是等腰直角三角形．
过点O作AC的垂线l,根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线,
∴l与抛物线的交点即为点P．
如图,直线l的解析式为y=x,
解方程组y＝xy＝−x2+2x+1
,得x1＝1+52y1＝1+52
,x2＝1−52y2＝1−52
（不合题意舍去）,
∴点P的坐标为（
5+12,5+12）；（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
由（1）知,点C的坐标为（1,0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b,
则b＝1k+b＝0
,解得k＝−1b＝1
,∴直线AC的解析式为y=-x+1．
设与AC平行的直线的解析式为y=-x+m．
解方程组y＝−x+my＝−x2+2x+1
,代入消元,得-x2+2x+1=-x+m,
∵此点与AC距离最远,
∴直线y=-x+m与抛物线有且只有一个交点,
即方程-x2+2x+1=-x+m有两个相等的实数根．
整理方程得：x2-3x+m-1=0,
△=9-4（m-1）=0,解之得m=
134．则x2-3x+
134-1=0,解之得x1=x2=
32,此时y=74．∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（
32,74）．求采纳