发布时间：2021-02-22 23:10:26
已知二次函数（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
解：（1）解方程，得x=－5或x=1，
∵x1＜x2，∴x1=﹣5，x2=1。∴A（﹣5，0），B（1，0）。
∴抛物线的解析式为：（a＞0）。
∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（－2，－9a）。
令x=0，得y=－5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）。
依题意画出图形，如图所示，
则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a。
过点D作DE⊥y轴于点E，
则DE=2，OE=9a，CE=OE－OC=4a。
∴
。
而，
∴。
（2）如图所示，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，
设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2。
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即，化简得：。
∵a＞0，∴。
∴抛物线的解析式为：，即。
【解析】（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论。
（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式。