已知AB是圆O的直径,BC切圆O于B,OC切圆O于D,连接AD并延长交BC于点E,若DG垂直于BC于G,OE与DG相交于M,连接BM并延长交OC于N,以N为圆心NE为半径画圆,求证圆N与圆O外切.
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已知AB是圆O的直径,BC切圆O于B,OC切圆O于D,连接AD并延长交BC于点E,若DG垂直于BC于G,OE与DG相交于M,连接BM并延长交OC于N,以N为圆心NE为半径画圆,求证圆N与圆O外切.(图1)
∵BC是⊙O切线→BC⊥OB,而DB⊥OB,∴DG∥AB
于是在ΔAEO中,DM:AO=ED:EA；在ΔNBO中,DM:BO=ND:NO
∵AO=BO,∴ED:EA=ND:NO,即ED:DA=ND:DO
又∵∠NDE=∠ADO,∴ΔNDE∽ΔADO
∴ND:NE=OA:OD=1,即ND=NE
∴⊙N与⊙O相切.