如图EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ且∠BEG与∠CFH都是锐角,已知EG=k,FH=l四边形EFGH的面积为S.试用kLS表示正方形ABCD的面积.
网友回答
引理：sinθ=2S\kl
证明：S=S△EFG+S△EHG,
=S△EOF+S△GOF+S△EOH+S△GOH,
=1\2 EO•OF•sinθ+1\2GO•OF•sin(180°-θ)
+1\2EO•OH•sin(180°-θ)+1\2 GO•OH•sinθ
=1\2EG•OF•sinθ+1\2EG•OH•sinθ
=1\2EG•FH•sinθ=1\2kl•sinθ
所以sinθ=2S\kl
过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线,得矩形PQRT．
设正方形ABCD的边长为a,PQ=b,QR=c,
则b=根号（k2 -a2）,c=根号（l2 -a2）,
由S△AEH=S△TEH,S△BEF=S△PEF,S△GFC=S△QFG,S△DGH=S△RGH
得SABCD+SPQRT=2S,
∴a2+bc=2S,即a2+根号（k2-a2）•根号（l2-a2 ） =2S,
∴（k2+l2-4S）a2=k2l2-4S2,
由引理知kl=2S\sinθ＞2S,
所以k2+l2≥2kl＞4S,
故SABCD=a2=(k2l2-4S2)\(k2+l2-4S)