如图，正方体AC1
（1）在BD上确定一点E，使D1E∥面A1C1B；
（2）求直线BB1和面A1C1B所成角的正弦值；
（3）求面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．
网友回答
解：（1）连接AC，B1D1，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，连接D1O，O1B，则
∵D1O1=BO，D1O1∥BO，∴四边形D1OBO1是平行四边形，
∴D1O∥O1B
∵D1O?平面A1C1B，O1B?平面A1C1B，
∴D1O∥面A1C1B；
∴BD上存在中点E，使D1E∥面A1C1B；
（2）连接B1D，则B1D⊥面A1C1B，设垂足为G，则∠GBB1为直线BB1和面A1C1B所成角
∵B1G=B1D=BB1，
∴直线BB1和面A1C1B所成角的正弦值为；
（3）∵△A1C1B在底面ABCD中的射影为△ACB
∴面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为=
∴面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．
解析分析：（1）连接AC，B1D1，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，连接D1O，O1B，则可证D1O∥面A1C1B，即可得到结论；（2）连接B1D，则B1D⊥面A1C1B，设垂足为G，则∠GBB1为直线BB1和面A1C1B所成角，即可求解；（3）△A1C1B在底面ABCD中的射影为△ACB，则面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为，从而可得结论．
点评：本题考查线面平行，考查线面角，面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．