设O是三角形ABC所在的平面内一点.求解数学题设O是三角形ABC所在的平面内一点,向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c,且a+b+c=0,a乘b=b乘c=c乘a=-1,则三角形ABC的面积
网友回答
∵a+b+c=0
∴a+b=-c
即OA+OB=-OC
取AB中点为P
则OA+OB=2OP
∴OC=-2OP
∴C,O,P三点共线,且|OC|=2|OP|
CP是中线,那么O是三角形的重心
,a●b=b●c=c●a=-1
由OA●OB=OB●OC
得OA●OB-OB●OC=0
∴OB●(OA-OC)=0
∴OB●CA=0
同理有OC●AB=0
∴O是三角形垂心
那么三角形重心与垂心重合,三角形为正三角形
∵OA●OB=-1又=120º
∴|OA||OB|cos120º=-1
∴|OA||OB|=2
∴三角形面积
S=3SΔAOB
=3*1/2|OA||OB|sin120º
=3×1/2×2×√3/2
=3√3/2
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
∵a+b+c=0 ∴a+b=-c ac+bc=-cc |c|^2=cc=2 |c|=√2
同理：|a|=|b|= √2 cos(a,b)=-1/(√2√2)=-1/2 ∠(a,b)=∠(b,c)=∠(c,a)=2π/3
三角形ABC的面积=3三角形OAB的面积=3*√2√2/2(√3/2)=3√3/2