已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．求证：（1）∠DAG=∠DCG；（2）GC⊥CH．

网友回答

证明：（1）∵ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
又DG=DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG；

（2）∵ABCD为正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAG=∠E，又∠DAG=∠DCG，
∴∠E=∠DCG，
∵H为直角三角形CEF斜边EF边的中点，
∴CH=HE=EF，
∴∠HCE=∠E，
∴∠DCG=∠HCE，
又∠FCH+∠HCE=90°，
∴∠FCH+∠DCG=90°，即∠GCH=90°，
∴GC⊥CH．

解析分析：（1）要证明∠DAG=∠DCG，需把两角放到两三角形中，证明两三角形△ADG与△CDG全等得到，全等的方法是：由ABCD为正方形，得到AD与DC相等，∠ADB与∠CDB相等，再加上公共边DG，利用“SAS”得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；（2）要证明GC与CH垂直，需证∠GCH=90°，即∠FCH+∠DCG=90°，方法是：由正方形的对边AD与BE平行，根据两直线平行，内错角相等得到∠DAF与∠E相等，由（1）得到的∠DAG与∠DCG相等，等量代换得到∠E与∠DCG相等，再由CH为直角三角形ECF斜边上的中线，得到CH与HE相等都等于斜边EF的一半，根据“等边对等角”得到∠E与∠HCE相等，又∠FCH+∠DCG等于90°，等量代换得到∠FCH+∠DCG=90°，即∠GCH=90°，得证．

点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，是一道证明题．要求学生熟练掌握正方形的性质：四条边都相等，四个角相等都为直角，对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．