如图,△ABC中,内切圆I与AB,BC,CA分别切于F,D,E,连接BI,CI,再连接FD,ED,
(1)若∠A=40°,求∠BIC与∠FDE的度数.
(2)若∠BIC=α;∠FDE=β,试猜想α,β的关系,并证明你的论.
网友回答
解:(1)∵圆I是△ABC的内切圆,
∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,
∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB),
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,
∴∠IBC+∠ICB=70°,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=110°,
连接IF、IE,
∵圆I是△ABC的内切圆,
∴∠IFA=∠IEA=90°,
∵∠A=40°,
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°,
∴∠EDF=∠EIF=70°,
答:∠BIC=110°,∠FDE=70°.
(2)解:α=180°-β.
理由如下:由圆周角定理得:∠FIE=2∠FDE,
由(1)知:2∠FDE=180°-∠A,
即∠A=180°-2∠FDE,
∴∠A=180°-∠EIF,
由(1)知:2∠FDE=180°-∠A,
∴∠A=180°-2∠FDE=180°-2β,
∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(∠ABC+∠ACB),
=180°-(180°-∠A)=90°+∠A,
∴∠BIC=α=90°+(180°-2β),
即α=180°-β.
解析分析:(1)根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB),求出∠ABC+∠ACB的度数,求出∠IBC+∠ICB即可;连接IF、IE,求出∠FIE,即可求出∠FDE;(2)由(1)得出∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB),∠FDE=180°-2∠A,根据三角形的内角和定理求出∠BIC=90°+∠A,代入即可求出