如图正方形ABCD中，以D为圆心，DC为半径作弧与以BC为直径的⊙O交于点P，⊙O交AC于E，CP交AB于M，延长AP交⊙O于N，下列结论：①AE=EC；②PC=PN

网友回答

D
解析分析：连接DP，并延长交AB于Q，连接OP、OD；由于弧APC是以D为圆心、DC为半径，所以DC=DP，而OC、OP都是⊙O的半径，即可证得△DOC≌△DOP，由此可证得DP⊥OP，即DQ切⊙O于点P，然后根据这个条件来判断各选项是否正确．

解答：解：连接DP，并延长DP交AB于Q，连接OP、OD；∵DC=DP、OC=OP、OD=OD，∴△DOP≌△DOC，∴∠DPO=∠DCO=90°，即直线DQ与⊙O相切，且切点为P；①连接BE，则BE⊥AC；在等腰Rt△ABC中，BE⊥AC，故AE=EC，（等腰三角形三线合一）所以①正确；②由于OP=OP、OC=ON，若PC=PN，就必有△POC≌△PON；那么必须证得∠CPO=∠NPO；由于OP⊥DQ，因此∠DPC=∠NPQ，即∠DPA=∠NPQ=∠DPC，在等腰△ADP和等腰△DPC中，若∠DPA=∠DPC，则∠ADP=∠PDC，显然不成立，故②错误；④由于OP⊥DQ，则∠OPQ=90°；∵∠DAP=∠DPA=∠NPQ，∴∠NAM=∠OPN=90°-∠DAP=90°-∠NPQ，又∵∠OPN=∠N，∴∠NAM=∠N，即ON∥AB；故④正确；③连接OE，由于O、E分别是AC、BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，得OE∥AB；由④得ON∥AB，故N、O、E三点共线，所以NE是⊙O的直径，连接EP，由圆周角定理可知EP⊥AN；故③正确；所以正确的结论是①③④，故选D．

点评：此题考查的知识点有：正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、平行线的判定、三角形中位线定理等知识的综合应用，能够判断出DP是⊙O的切线是解决此题的关键，难度较大．