如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中

网友回答

C

解析分析：当E点是AB的中点时，由条件可知AM=AE=1，由勾股定理求出EM=，通过证明△AME≌△DMF，可以得出EM=FM=，EF=2．过M作MN⊥BC，垂足为N（如图），可以得出Rt△AME∽Rt△QMG，可以求出MG=2，最后由三角形的面积公式求出即可判断①．作EW⊥CD于W，MQ⊥BC于Q易证△EFW和△MGQ，根据全等三角形的性质推出EF=MG，即可判断②；求出EM=2，求出FM，得出MG=EF=4，在△FMG中根据勾股定理求出FG，即可判断③；当E在A点时，P为正方形中心当E运动到B点时，P运动到P'，证Rt△MPP'∽Rt△EMG推出PP'=2MP=2，即可判断④．

解答：过M作MQ⊥BC于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=2，∠A=∠B=90°，∴∠A=∠B=∠BQM=90°，∴四边形ABQM数矩形，∴MQ=AB=2，∵E、M分别为AB、AD中点，∴AE=AM=1，AM=MD，由勾股定理得：EM==，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADF=90°，AB∥CD，∴∠AEM=∠DFM，∵在△AEM和△DFM中，∴△AEM≌△DFM（AAS），∴EM=MF=，∴EF=2，∵四边形ABQM是矩形，∴∠AMQ=90°，∵∠EMG=90°，∴∠AME+∠EMQ=90°，∠EMQ+∠QMG=90°，∴∠AME=∠QMG，∵在△AME和△QGM中，∠A=∠MQG=90°，∠AME=∠QMG，∴△AME∽△QMG，∴==，∴MQ=QG=2，在Rt△MQG中，由勾股定理得：MG=2，∴S△EFG=EF×MG=×2×2=4，∴①错误；过E作EW⊥CD于W，∵MQ⊥BC，四边形ABCD是正方形，∴EW=AD=MQ=AB，∠MHE=90°，∵∠EMG=90°，∴∠MEG+∠EMH=90°，∠EMH+∠GMH=90°，∴∠MEH=∠QMG，∵在△FEW和△GMQ中，∴△FEW≌△GMQ（ASA），∴EF=MG，∴②正确；∵∠A=90°，AM=1，AE=，∴由勾股定理得：EM=2=FM，∴MG=EF=2+2=4，在Rt△FMG中，由勾股定理得：FG==2√5，∴③正确；当E在A点时，P为正方形中心当E运动到B点时，P运动到P'，∵△ABM∽△MGB（已证），==，∵P为MQ的中点，P′为MG中点，∴PP′∥BC，∴∠MPP′=∠MQG=90°=∠BMG，∠MP′P=∠MGB，∴△MPP'∽△BGM，∴==，∴PP'=2MP=2，∴④正确；即正确的有3个．故选C．

点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目综合性比较强，难度偏大，对学生提出了较高的要求．