求三角形ABC面积的最大值.在半径为R的圆的内接三角形ABC中,2R*(sinA*sinA-sinC

网友回答

R、A、B、C、a、b哪几个是已知的啊,已知量不确定,不是要讨论来讨论去的吗?这种题一般是a、b已知,然后求出函数关系,根据角度大小的变化来求最值,我就设a、b为已知量来给你解一解.
由正弦定理,a/sinA=c/sinC=2R,即a=2RsinA,c=2RsinC,
A+B+C=π ==> A+C=π-B
2R(sinA*sinA-sinC*sinC)=(√a-b)sinB
2R(sinA-sinC)(sinA+sinC)=(√a-b)sinB
(2RsinA-2RsinC)*2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=(√a-b)sinB
(a-c)*2sin[(π-B)/2]cos[(A-C)/2]=(√a-b)*2sin(B/2)cos(B/2)
2(a-c)sin[(π/2)-(B/2)]cos[(A-C)/2]=2(√a-b)sin(B/2)cos(B/2)
2(a-c)cos(B/2)cos[(A-C)/2]=2(√a-b)sin(B/2)cos(B/2)
两边同除以2(√a-b)cos(B/2),得：
sin(B/2)=(a-c)cos[(A-C)/2]/(√a-b)
令t=cos[(A-C)/2],则：sin(B/2)=t(a-c)/(√a-b)
令x=sin(B/2)=t(a-c)/(√a-b),y=cos(B/2),则：y=√(1-x^2).
（√表示根号,√()表示对括号里的代数式开平方,x^2表示x的平方,下同）
由A、B、C∈(0,π)可推出：
[(A-C)/2]∈(-π/2,π/2),因此t=cos[(A-C)/2]∈(0,1]
B/2∈(0,π/2),因此x=sin(B/2)∈(0,1)、y=cos(B/2)∈(0,1)
设△ABC的面积为S,则：
S=(acsinB)/2=[ac*2sin(B/2)cos(B/2)]/2=acxy=acx√(1-x^2)
而x√(1-x^2)=√[x^2(1-x^2)]≤(x^2+1-x^2)/2=1/2,即：S≤ac/2
仅当x^2=1-x^2,即x=√2/2时,上述不等式等号成立.
此时由sin(B/2)=x=√2/2,B/2∈(0,π/2)可求得：B=π/2.
就是说当△ABC是B=π/2的直角三角形时,面积S有最大值,S=ac/2
将c用a、b表示,b是斜边,因此c=√(b^2-a^2)
B=π/2时,△ABC面积最大值为：S=ac/2=[a√(b^2-a^2)]/2.
另外由t(a-c)/(√a-b)=sin(B/2)=√2/2可得t=cos[(A-C)/2]=(√a-b)/[(a-c)√2],
即A-C=±2arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]},而A+C=π-B=π/2,则可求出A、C角的大小：
A=π/4+arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]}、C=π/4-arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]},
或：A=π/4-arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]}、C=π/4+arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]},（其中c=√(b^2-a^2)）
从而确定出△ABC面积最大时直角三角形的具体形状.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
那个是根号下a-b吗？