发布时间：2021-02-22 23:14:58
已知一元二次方程x2－4x－5＝0的两个实数根为x1、x2，且x1＜x2．若x1、x2分别是抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点A、B的横坐标(如下图所示)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线与y轴的交点为C，抛物线的顶点为D，请直接写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积；
(3)是否存在直线y＝kx(k＞0)与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
[注：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为()]
解：(1)由方程x2－4x－5＝0得方程的两根x1＝－1，x2＝5． 所以A、B的坐标分别为A(－1，0)、B(5，0)．……1分 把A(－1，0)、B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c得 解得…………………………………………2分 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5．…………………………3分 (2)C(0，5)、D(2，9)．………………………………………5分 如图所示，过D作DE⊥x轴于点E，则 S四边形ACDB＝S△AOC＋S四边形OCDE＋S△EDB ＝…………6分 ＝ ＝16＋14 ＝30．………………………………………………7分 (3)存在满足条件的直线．………………………8分 设过B、D两点的直线解析式为y＝k1x＋d，把B(5，0)、D(2，9)代入y＝k1x＋d得 ………………………………9分 解得 ∴直线BD的解析式为y＝－3x＋15．…………………………10分 设y＝kx与y＝－3x＋15的交点为F(m，n)，作直线OF，则S△OBF＝，即OB×n＝15， ∴×5n＝15，∴n＝6． 又∵点F(m，6)在y＝－3x＋15上， ∴6＝－3m＋15． ∴m＝3． ∴点F(3，6)．…………………………………………………11分 把点F(3，6)代入y＝kx，得6＝3k，即k＝2．…………………12分 |