已知，⊙O上一点E，过E点作圆的切线EA，交⊙O的直径BD为A，，连接AF．（1）证明：AF是⊙O的切线；（2）若，OH⊥BF，直径为4，求OH2的长．

网友回答

解：（1）连接OF，BE，DF，
∵=，
∴=，
∴∠EOD=∠FOD，
在△AEO与△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∵AE为圆O的切线，∴OE=AE，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
则AF为圆O的切线；

（2）∵=3，
∴∠EOF=90°，
∴四边形AEOF为正方形，
∴AF=OD=BD=2，AB=BD+DA=2+2，
又BD为圆O的直径，
∴BF⊥DF，又OH⊥BF，
∴OH∥DF，又O为AB的中点，
∴OH为△BDF的中位线，
∴OH=DF，
设OH=x，则DF=2x，
∵∠DFQ=∠BFO，
∴△BFA∽△FDA，
∴=，即=，
∴BF=（2+2）x，
在Rt△DFB中，根据勾股定理得：DF2+BF2=BD2，即42+（2x）2+[（2+2）x]2=（2x）2
解得：x=2-2，
则OH2=（2-2）2=10-8．
解析分析：（1）连接OF，BE，DF，由BD为圆O的直径，得到弧BED与弧BFD都为半圆，且弧BE=弧BF，可得出弧ED=弧FD，利用等弧所对的圆心角相等得到一对角相等，再加上OE=OF，OA为公共边，利用SAS可得出三角形AEO与三角形AFO全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，又AE为圆O的切线，利用切线的性质得到AE垂直于OE，可得出AF垂直于OF，进而确定出AF为圆O的切线；
（2）由弧BE=3弧ED，得到得到∠EOA=∠FOA=45°，可得出OE与OF垂直，确定出四边形AEOF为正方形，得到AF=OE=OD，由直径为4求出AF=2，由弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ADF与三角形ABF相似，由相似得比例，由OH与BF垂直，BD为圆O直径得到DF与BF垂直，得出OH与DF平行，由O为BD中点，得到H为BF中点，即OH为中位线，利用中位线定理得到DF=2OH，设OH=x，则DF=2x，

点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及正方形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．