已知数列{an}中，a1=1，an+an+1=2n（n∈N*），bn=3an．（1）试证数列{an-13×2n}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．（2）在数列{bn}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．（3）①试证在数列{bn}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．②在数列{bn}中，是否存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由．
网友回答
答案:
分析：（1）根据由an+an+1=2n，代入
化简整理可知结果为常数，故可根据等比数列的定义判断数列{an-
×2n}是等比数列，公比为-1，首项为a1-
，进而可得等比数列的通项公式．
（2）先假设在数列{bn}中，存在连续三项bk-1，bk，bk+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，再根据等差中项的性质可得bk-1+bk+1=2bk，再通过（1）求得的an，求得bn代入整理得2k-1=4（-1）k-1，分k为奇数和偶数两种情况分别讨论，进而求得k．
（3）①要使b1，br，bs成等差数列，只需b1+bs=2br，代入bn的通项公式整理得2s-2r+1=（-1）s-2（-1）r-3，分情况讨论，若s=r+1，当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时符合条件；若s≥r+2时根据r的范围推断等式不成立．综合可得答案．
②假设存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列．首先找到成等差数列的3项，根据bt=b2n+d和bt=2t-（-1）t，进而整理得2t-3×22n-1=（-1）t-3．由于左端大于等于8；右边小于等于-2，进而推断等式不可能成立，最后综和即可得出结论．