发布时间：2021-02-22 13:16:50
已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝x3－x2＋ax．
(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；
(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，
求证：g(x)的极大值小于等于10．
(Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
列表如下：
| x | (－，1) | 1 | (1，2) | 2 | (2，＋) |
| f ′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f (x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以，f (x)的极小值为f (2)＝．…………………………………6分
(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
由于a＞1，
所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．
而g ′ (x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，
所以，
即b＝－2(a＋1)．
又因为1＜a≤2，
所以 g(x)极大值＝g(1)
＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10．
故g(x)的极大值小于等于10．
【解析】略