发布时间：2021-02-22 13:16:31
已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f （x）＝x3－x2＋ax．
（Ⅰ）当a＝2时，求f （x）的极小值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝x3＋bx2－（2b＋4）x＋ln x （b∈R）的极小值点与f （x）的极小值点相同．求证：g（x）的极大值小于等于．
（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】(I)当a=2时，求导利用导数求极小值即可.极值点左侧值为负，右侧值为正，则为极小值点.
（II）分别利用导数求出g(x)和f(x)的极小值，根据极小值点相等，得到a,b的等式关系，
从而可,然后根据g（x）极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b
＝－3＋ ＝,,令,,显然F(a)是单调增函数，从而可知其最大值，再证明F（a）的最大值，问题得证.
解：（Ⅰ） 解: 当a＝2时，f ′（x）＝x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）．
列表如下：
| x | （－，1） | 1 | （1，2） | 2 | （2，＋） |
| f ′（x） | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f （x） | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以，f （x）极小值为f （2）＝． …………………………………5分
（Ⅱ） 解：f ′（x）＝x2－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）．
g ′（x）＝3x2＋2bx－（2b＋4）＋＝．
令p（x）＝3x2＋（2b＋3）x－1，
（1） 当 1＜a≤2时，
f （x）的极小值点x＝a，则g（x）的极小值点也为x＝a，
所以p(a)＝0，
即3a2＋（2b＋3）a－1＝0，
即b＝，
此时g（x）极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b
＝－3＋ ＝．
由于1＜a≤2，
故 ≤2－－＝．………………………………10分
（2） 当0＜a＜1时，f （x）的极小值点x＝1，则g（x）的极小值点为x＝1，
由于p（x）＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，所以0＜x1＜1，
即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．
此时g（x）的极大值点x＝x1，
有 g（x1）＝x13＋bx12－（2b＋4）x1＋lnx1＜1＋bx12－（2b＋4）x1
＝（x12－2x1）b－4x1＋1 （x12－2x1＜0）
＜－（x12－2x1）－4x1＋1
＝－x12＋x1＋1＝－（x1－）2＋1＋ （0＜x1＜1）≤＜．
综上所述，g（x）的极大值小于等于． ……………………14分