设A是一个实方阵,证明：存在正交矩阵 S,T,以及上三角 P,Q ,使得 A=SP=QT如题,求证

网友回答

感觉证得有些勉强,凑合着看吧,期待高人完美解答:
小写t是转置
实方阵A=SP是显然的,只需证SP=QT
由S T是正交矩阵,知StS=SSt=E=TtT=TTt
那么SP=SPTtT
要让SP=QT
只需让SPTt为上三角,那么取Q=SPTt即可
反证:假设不存在正交矩阵S、T,使SPTt为上三角
取S=|-1 0 0 ...0|
|0 1 0 ...0|
|0 0 1 ...0|
|.||0 0 0 ...1|
T=Tt|1 0 0 ...0|
|0 -1 0 ...0|
|0 0 1 ...0|
|.||0 0 0 ...1|
那么S左乘是让P第一行反号,Tt右乘是让P第二列反号
这样最后形成的P'仍为上三角,矛盾.
也就是存在ST,使SPTt为上三角,那么就有STPQ,使A=SP=QT
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
考虑格拉姆——施密特正交化，不过A是否应该可逆？？？
供参考答案2:
答案是SP=QT=A