如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，E为C1C上的点，且CE=1，（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求A1

网友回答

（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），E（0，2，1），
∴=（-2，0，1）．
∵=（-2，2，-4），=（2，2，0），
∴?=4+0-4=0且?=-4+4+0=0，
∴⊥且⊥，
∵DB∩BE=B
∴A1C⊥平面BDE；??????????????????
（2）解：由（1）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量，
∵=（0，2，-4），
∴cos＜，＞==，
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为．
解析分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，可证得直线A1C与BE，BD均垂直，再由线面垂直的判定定理得到A1C⊥平面BED；（2）由（1）中结论，我们可得是平面BDE的一个法向量，再求出直线A1B的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，向量语言表述线面的垂直、平行关系，其中建立空间坐标系，将空间线面的夹角及垂直、平行问题转化为向量夹角问题是解答此类问题的关键．