已知AB是⊙O的一条弦，P是⊙O外一点，PB切⊙O于B，PA交⊙O于C，且AC=BC，PD⊥AB于D，E是AB的中点，DE=2008．则PB的值为A.1004B.20

网友回答

C

解析分析：连接OB．设OE=a，EB=x，OB=m．在直角三角形OEB中，根据勾股定理列出一个等式，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由直角相等得到三角形BOE和三角形PBD相似，又PD与OC都与AB垂直得到PD与CO平行，根据两直线平行同位角相等得到两对同位角相等，从而得到三角形ACE与三角形APD相似，根据相似三角形的性质得比例线段列出两个关系式，三个关系式联立化简后，再利用分比合比性质变形得到一个关系式，最后由相似三角形EOB与DBP，得到关于PB的关系式，与化简后的关系式比较即可求出PB的长．

解答：解：连接OB．∵E是AB的中点，∴OC⊥AB，又PD⊥AB，∴∠PDA=∠CEA=90°，又∠A为公共角，∴△AEC∽△ADP，∵BP为圆O的切线，∴OB⊥BP，∴∠OBP=90°，即∠PBD+∠OBE=90°，又∠BOE+∠OBE=90°，∴∠PBD=∠BOE，又∠PDB=∠BEO=90°，∴△EBO∽△BDP，设OE=a，EB=x，OB=m．由△AEC∽△ADP，∴=，即x：（x+2008）=（m-a）：DP；由△EBO∽△BDP，∴=，即x：PD=a：（x-2008）；∵△OBE为直角三角形，根据勾股定理得：OB2=EB2+OE2，即a2+x2=m2，故x2=（m-a）（m+a）．三式联立得：（2008-x）：（2008+x）=a：（m-a），可化为：（2008-x）：4016=a：m．在相似三角形EOB与DBP中，（2008-x）：BP=a：m，所以BP=4016．故选C．

点评：本题主要考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形等知识点，用相似三角形得出线段之间的比例关系是解题的关键．