满足条件AB=2AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值

发布时间:2021-02-21 17:15:17

满足条件AB=2AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值

网友回答

抄袭,谅解方法一:由余弦定理,有:
cosC=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC×BC)=(2BC^2+BC^2-4)/(2√2BC^2),
∴(cosC)^2=[3/(2√2)-√2/BC^2]^2=9/8-3/BC^2+2/BC^4,
∴(sinC)^2=1-(cosC)^2=1-(9/8-3/BC^2+2/BC^4)=-1/8+3/BC^2-2/BC^4,
∴sinC=√(-1/8+3/BC^2-2/BC^4).
∴△ABC的面积
=(1/2)AC×BCsinC=(1/2)√2BC^2√(-1/8+3/BC^2-2/BC^4)
=(√2/2)√(-BC^4/8+3BC^2-2)=(√2/2√8)√(-BC^4+24BC^2-16)
=(1/4)√[128-(BC^4-24BC^2+144)]=(1/4)√[128-(BC^2-12)^2].
显然,当BC^2-12=0时,△ABC的面积有最大值为:(1/4)√128=(1/4)√(64×2)=2√2.
方法二:设BC=x,则AC=√2x.
∴△ABC的半周长p=(x+√2x+2)/2.
∴p-BC=(x+√2x+2)/2-x=(√2x+2-x)/2,
 p-AC=(x+√2x+2)/2-√2x=(x+2-√2x)/2,
 p-AB=(x+√2x+2)/2-4=(x+√2x-2)/2.
∴p(p-AC)=[(x+2)^2-2x^2]/4=(x^2+4x+4-2x^2)/4=[4x-(x^2-4)]/4,
 (p-BC)(p-AB)=[2x^2-(x-2)^2]/4=[4x+(x^2-4)]/4.
∴p(p-AC)(p-BC)(p-AB)=[16x^2-(x^2-4)^2]/16.
由海伦公式,有:
△ABC的面积
=√[p(p-AC)(p-BC)(p-AB)]=(1/4)√[16x^2-(x^2-4)^2]
=(1/4)√(16x^2-x^4+8x^2-16)=(1/4)√(-x^4+24x-16)
=(1/4)√[128-(x^4-24x^2+144)]=(1/4)√[128-(x^2-12)^2].
显然,当x^2-12=0时,△ABC的面积有最大值为:(1/4)√128=(1/4)√(64×2)=2√2.
方法三:以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,使点C在x轴的上方.
显然,A、B的坐标分别是(-1,0)、(1,0).
令点C的坐标为(m,n).则:△ABC的面积=(1/2)|AB|n=(1/2)×2n=n.
∵|AC|=√2|BC|,
∴√[(m+1)^2+(n-0)^2]=√2×√[(m-1)^2+(n-0)^2],
∴(m+1)^2+n^2=2(m-1)^2+2n^2,
∴n^2=(m+1)^2-2(m-1)^2=m^2+2m+1-2m^2+4m-2=-m^2+6m-1
 =-(m^2-6m+9)+8=-(m-3)^2+8.
∴当m-3=0时,n^2有最大值为8,∴n有最大值为2√2,即:△ABC的面积最大值为2√2.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
三角形三边长度的关系确定了,那么三角形的形状也就确定了,不同的取值只不过是三角形的相似问题,面积也取决于边长,这个三角形面积可以无限的大。
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