如图1,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上,顶点M的坐标为(3,3),MH为斜边上的高.抛物线C:与直线及过N点垂直于x轴的直线交于点D.点P(m,0)是x轴上一动点,过点P作y轴的平行线,交射线OM于点E.设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S.
(1)直接写出点D的坐标及n的值;
(2)判断抛物线C的顶点是否在直线OM上?并说明理由;
(3)当m≠3时,求S与m的函数关系式;
(4)如图2,设直线PE交射线OD于R,交抛物线C于点Q,以RQ为一边,在RQ的右侧作矩形RQFG,其中RG=,直接写出矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.
网友回答
(1)解:D的坐标是(6,3),n的值是2.
(2)解:抛物线的顶点坐标在直线OM上,
理由是:设直线OM的解析式为y=kx,k≠0,
∵M(3,3)在直线OM上,
∴y=x.
即直线OM的解析式为:y=x.
∵y=-x2+2x的顶点坐标为(4,4),
∴抛物线C的顶点在直线OM上;
(3)解:根据题意,M(3,3),N(6,0).
∵点P的横坐标为m,PE∥y轴交OM于点E,
∴E(m,m).
当0<m<3时,如图1,
S=S△OMN-S△OEH
=.
当3<m<6时,如图2,
由勾股定理得:OM==3,
同理ON=6,
S=S△OEN-S△OMH,
=×6m-×3×3,
=3m-;
当m>6时,如图2,
S=S△EON-S△OMH
=×6m-×3×3
=3m-.
(4)解:分为三种情况:①为当四边形为正方形时,此时m=3-,
②当MH平分QF时,此时m=,
③矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时,从M开始,到直线OD与抛物线的交点D为止(不包括D点),即m取值范围是3≤m<4.
解析分析:(1)根据勾股定理和M的坐标即可求出D的坐标和n的值;(2)设直线OM的解析式为y=kx,k≠0,根据M(3,3)在直线OM上,得到y=x.求出y=-x2+2x的顶点坐标代入即可;(3)已知了M点的坐标,即可求出OH、MH的长,由于△OHM是等腰直角三角形,即可确定ON的长;欲求四边形MNHE的面积,需要分成两种情况考虑:①0<m<3时,②6>m>3时,③m>6时,根据上述3种情况阴影部分的面积计算方法,可求出不同的自变量取值范围内,S、m的函数关系式;(4)根据等腰直角三角形和等腰三角形的性质,即可求出m的范围.
点评:本题主要考查对矩形的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,三角形的面积,用待定系数法求正比例函数的解析式,二次函数的三种形式等知识点的理解和掌握,能利用这些性质进行计算是解此题的关键,题型较好,综合性强.