已知AB为半圆的直径，弦AD、BC相交于M，点E在AM上，且∠CEM=∠B，AB=1，则cos∠AMC的值等于线段的长．A.ABB.CEC.AMD.CM

网友回答

B

解析分析：连接BD，CD，利用同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠ADC，再由已知的∠CEM=∠B，利用等量代换得到一对角相等，利用等角对等边得到CE=CD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，在直角三角形BDM中，利用锐角三角函数定义表示出cos∠DMB，由对顶角相等得到cos∠DMB=cos∠AMC，再由∠B=∠ADC及一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形CMD与三角形ABM相似，由相似得比例，可得出CD：AB即为cos∠AMC的值，将AB=1，CD=CE代入即可得到其值为CE，得到正确的选项．

解答：解：连接BD，CD，如图所示：∵∠B和∠ADC都对，∴∠B=∠ADC，又∠CEM=∠B，∴∠CEM=∠ADC，∴CE=CD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△MBD中，cos∠DMB=，∵∠AMC=∠DMB，∴cos∠AMC=cos∠DMB=，∵∠ADC=∠B，∠CMD=∠AMB，∴△CMD∽△AMB，∴=，又AB=1，∴=CD，又CD=CE，则cos∠AMC==CE．故选B

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的判定，以及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．