已知：如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠B

网友回答

D

解析分析：由BD为角平分线得到一对角相等，再由BD=BC，BE=BA，可得出三角形ABE与三角形BCD为相似的等腰三角形，即两三角形底角相等，再由对顶角相等，得到三角形ADE与BDC相似，由相似得比例且得到一对角相等，再由对应角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形ADB与三角形CED相似，由相似三角形的对应角相等得到∠ABE=∠ACE，故选项①正确；由题意得出A、B、C、E四点共圆，利用圆内接四边形的对角互补即可得到∠BCE+∠BAE=180°，等量代换可得出∠BCE+∠BCD=180°，故选项②正确；等量代换可得出∠ACE=∠CAE，利用等角对等边可得出AE=EC，故选项③正确；过E作EM垂直于BC，由BE为角平分线，EF垂直于AB，利用角平分线定理得到AF=CM，等量代换即可得到BD+BE=2BF，故选项④正确，即可得到正确的选项为D．

解答：∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE，又BD=BC，BA=BE，∴∠BCD=，∠BEA=，即∠BCD=∠BEA，又∠BDC=∠ADE，∴△ADE∽△BCD，∴=，∠DAE=∠CBE，∴∠ABE=∠DAE，又∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC，∴∠ACE=∠ABE，故选项①正确；∴A、B、C、E四点共圆，∴∠BCE+∠BAE=180°，又∠BCD=∠BAE，∴∠BCE+∠BCD=180°，故选项②正确；∴∠DAE=∠ACE，∴AE=EC，故选项③正确；过E作BC延长线的垂线，垂足为M，如图所示：∵∠BCE+∠BAE=180°，∠BCE+∠ECM=180°，∴∠BAE=∠ECM，又BE为∠ABC平分线，EF⊥AB，EM⊥BM，∴EF=EM，在△AEF和△CEM中，，∴△AEF≌△CEM（AAS），∴AF=CM，又AB=EB，BC=BD，则BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF，故选项④正确，则其中正确的是①②③④．故选D

点评：此题考查了角平分线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．