如图，已知，正△A1B1C1的外接圆⊙O内切于正△ABC，若△ABC的面积是4，则阴影部分的面积是A.2B.C.2D.+π

网友回答

B
解析分析：解法（1）连接AO延长交BC于D，连接OB、OC1，过O作OE⊥A1C1于E，设正△ABC的边长是a，则BD=CD=a，根据等边三角形的性质求出OD、AD，根据三角形的面积公式和勾股定理求出BC、AD、OD，根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质求出DE、EC1，进一步求出A1C1及边上的高，根据三角形的面积公式求出△A1B1C1的面积，根据式子×（△ABC的面积-△A1B1C1的面积），代入求出即可．解法（2）连接MN，根据旋转得到阴影部分的面积等于△BMN的面积，求出△BMN的面积即可．

解答：解：解法（1）连接AO延长交BC于D，连接OB、OC1，过O作OE⊥A1C1于E，∵正三角形ABC，∴AD⊥BC，BD=DC，设正△ABC的边长是a，则BD=CD=a，根据勾股定理得：AD=a，∵△ABC的面积是4，∴×a×a=4，∴a=4，∴BD=2，∵O是正△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC=×60°=30°，∴OD=BO，由勾股定理得：OD=，∴C10=，同法可求：OE=OC1=，C1E=A1E=1，∴A1C1=2，A1C1边上的高是3×=，∴△A1B1C1的面积是×2×=，∴阴影部分的面积是×（△ABC的面积-△A1B1C1的面积）=×（4-）=，解法（2）连接MN，由（1）可知：BN=BD=2，同法可求BN上的高MH=，∴根据旋转得出：阴影部分的面积=△BMN的面积=BN×MH=×2×=．故选B．

点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的面积，三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，含30度得直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．