如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等．（1）求∠EAF的度数；（2）在图①中，连接BD分别交AE、AF于点M

网友回答

解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE，
∴∠BAE=∠GAE．
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°
∴；
（2）证明：连接MH，
由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，
∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，
∴△AHM≌△ANM，
∴MN=MH
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°
由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，
∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，
∴MH2=HB2+ND2，
∴MN2=MB2+ND2；
（3）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，则EF=10
设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．
∵CE2+CF2=EF2，
∴（x-4）2+（x-6）2=102．
解这个方程，得x1=12，x2=-2（舍去）．
∴AG=12．
∴．
在（2）中，MN2=MB2+ND2
设MN=a，则．
∴．即．
解析分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出；
（2）连接MH，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，所以∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，所以MH2=HB2+ND2，所以MN2=MB2+ND2；
（3）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．因为CE2+CF2=EF2，所以（x-4）2+（x-6）2=102．解这个方程，求出x的值即可得到AG=12，在（2）中，MN2=MB2+ND2，MN=a，则，所以．即．

点评：本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和一元二次方程的运用，题目的综合性很强，难度不小．