设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设bn=Sn-3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，

网友回答

解：（Ⅰ）依题意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，
由此得Sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2（Sn-3n）．
因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*．①（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a-3）2n-1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=3n+（a-3）×2n-1-3n-1-（a-3）×2n-2=2×3n-1+（a-3）2n-2，
an+1-an=4×3n-1+（a-3）2n-2=，
当n≥2时，?a≥-9．
又a2=a1+3＞a1．
综上，所求的a的取值范围是[-9，+∞）．
解析分析：（Ⅰ）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）．所以bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*．
（Ⅱ）由题设条件知Sn=3n+（a-3）2n-1，n∈N*，于是，an=Sn-Sn-1=，由此可以求得a的取值范围是[-9，+∞）．


点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．