O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：
①；
②；
③||：||：||=cosA：cosB：cosC；
④?λ∈R，使得（+）．
以上命题正确的个数是A.1B.2C.3D.4
网友回答
B
解析分析：由O点是锐角三角形ABC的外心，利用外心的概念，结合向量加法的平行四边形法则得到向量与向量的关系，运用反证法的思想得到命题①②均不正确；利用三角形外接圆半径的关系，把||：||：||转化为：：，进一步转化为cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，借助于同弧所对圆心角是圆周角的2倍得到③||：||：||=cosA：cosB：cosC；利用正弦定理把命题④中的sinB和sinC替换为三角形的边长和外接圆的半径，由替换整理可求出存在的实数λ的值．
解答：因为O是锐角三角形ABC的外心，所以O在△ABC内部，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，则D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，由向量加法的平行四边形法则可知，，若，则，所以，说明A，O，D一定共线，因为OD⊥BC，所以AD⊥BC，则有AB=AC，而原三角形只是锐角三角形，不一定有AB=AC，所以命题①错误；由，所以=，因为命题①不正确，所以命题②不正确；因为O是△ABC的外心，所以OA=OB=OC，又OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB所以OD：OE：OF=：：=cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，∵∠COD=∠BOC=∠A，∠AOE=∠COA=∠B，∠BOF=∠AOB=∠C，∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC，所以命题③正确；在△ABC中，因为，所以=，因为，若?λ∈R，使得（+），即，则，所以．所以?λ∈R，使得（+），所以命题④正确．综上，正确命题是③④．故选B．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角形的外心，明确三角形的外心是三边中垂线的交点是关键，考查了平面向量在三角形中的应用，属中档题．