0时,有f(x)F(x)=(arctan√x)/(√x(1+x)),试求f(x).

网友回答

依题意有F'(x)=f(x)
f(x)F(x)=(arctan√x)/[√x(1+x)]
两边分别对x积分,有
∫f(x)F(x)dx=∫F(x)dF(x)=1/2*[F(x)]^2=∫(arctan√x)/[√x(1+x)]dx=∫2arctan√x*d(arctan√x)
=(arctan√x)^2+C
于是得[F(x)]^2=2(arctan√x)^2+2C
将F(1)=((√2)π)/4代入,得C=0,于是有F(x)=±√2arctan√x,但F(1)=((√2)π)/4,故
F(x)=√2arctan√x
f(x)=F'(x)=√2*1/(1+x)*1/2*1/√x=1/[(1+x)√(2x)]