求证题,已知:梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC⊥BD,求证:AO*CO+BO*DO=AD*BC

网友回答

平移对角线加勾股定理,过程如下：
证明：过点D作DE‖AC交BC的延长线于点E
∵AC⊥BD,∴DE⊥BD
∵Rt△BDE中,有BD^2+DE^2=BE^2
又∵BD=BO+OD,DE=AC=OA+OC,BE=BC+CE=BC+AD
∴(OB+OD）^2+（OA+OC）^2=（AC+BD）^2
即OB^2+ +2OB•OD+OD^2+ OA^2+2OA•OC+ OC^2= AD^2 +2AD•BD+BD^2
∵ 在Rt△AOD中,有OA^2+OD^2=AD^2
在Rt△BOC中,有OB^2+OC^2=BD^2
∴2OB•OD+2OA•OC=2AD•BD
∴OB•OD+ OA•OC= AD•BD