求复指数函数的无穷积分,指数函数的积分公式是怎样推导出来的

网友回答

从题目的意思来说, a, f应该都是实数,
　　此时要求a > 0(否则积分发散).
　　其实复指数函数和实指数函数没有本质区别.
　　对复数c ≠ 0, e^(cx)的一个原函数就是e^(cx)/c,
　　因此∫{0,A} e^(-at)e^(-2πfjt) dt
　　= ∫{0,A} e^(-(a+2πfj)t) dt
　　= (1-e^(-(a+2πfj)A))/(a+2πfj).
　　由a > 0, a, f为实数, 有|e^(-(a+2πfj)A)| = |e^(-aA)|,
　　于是当A → +∞时e^(-(a+2πfj)A) → 0,
　　故∫{0,+∞} e^(-at)e^(-2πfjt) dt = 1/(a+2πfj).
　　同理, ∫{A,0} e^(at)e^(-2πfjt) dt = (1-e^((a-2πfj)A))/(a-2πfj),
　　由a > 0, 当A → -∞时e^((a-2πfj)A) → 0,
　　故∫{-∞,0} e^(at)e^(-2πfjt) dt = 1/(a-2πfj).
　　相加得∫{0,+∞} e^(-at)e^(-2πfjt) dt + ∫{-∞,0} e^(at)e^(-2πfjt) dt
　　= 1/(a+2πfj)+1/(a-2πfj)
　　= (a-2πfj)/(a²+4π²f²)+(a+2πfj)/(a²+4π²f²)
　　= 2a/(a²+4π²f²).
　　另外, 也可以化成实积分来做:
　　∫{0,+∞} e^(-at)e^(-2πfjt) dt + ∫{-∞,0} e^(at)e^(-2πfjt) dt
　　= ∫{0,+∞} e^(-at)e^(-2πfjt) dt + ∫{0,+∞} e^(-at)e^(2πfjt) dt
　　= ∫{0,+∞} e^(-at)(e^(2πfjt)+e^(-2πfjt)) dt
　　= 2·∫{0,+∞} e^(-at)cos(2πft) dt.
　　设S = ∫{0,+∞} e^(-at)cos(2πft) dt,
　　两次分部积分得S = ∫{0,+∞} e^(-at)cos(2πft) dt
　　= 1/(2πf)·∫{0,+∞} e^(-at) d(sin(2πft))
　　= 1/(2πf)·(0-∫{0,+∞} sin(2πft) d(e^(-at)))
　　= a/(2πf)·∫{0,+∞} e^(-at)sin(2πft) dt
　　= -a/(2πf)²·∫{0,+∞} e^(-at) d(cos(2πft))
　　= -a/(2πf)²·(-1-∫{0,+∞} cos(2πft) d(e^(-at))
　　= -a/(2πf)²·(-1+a·∫{0,+∞} e^(-at)cos(2πft) dt)
　　= -a/(2πf)²·(-1+aS),
　　解得S = a/(a²+4π²f²),
　　故∫{0,+∞} e^(-at)e^(-2πfjt) dt + ∫{-∞,0} e^(at)e^(-2πfjt) dt = 2S = 2a/(a²+4π²f²).

网友回答

设：指数函数为：y=a^x
　　y'=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△x
　　y'=lim【△x→0】{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x
　　y'=lim【△x→0】(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x
　　y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)
　　设：[(a^(△x)]-1=M
　　则：△x=log【a】(M+1)
　　因此,有：‘
　　{[(a^(△x)]-1}/△x
　　=M/log【a】(M+1)
　　=1/log【a】[(M+1)^(1/M)]
　　当△x→0时,有M→0
　　故：
　　lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x
　　=lim【M→0】1/log【a】[(M+1)^(1/M)]
　　=1/log【a】e
　　=lna
　　代入(1),有：
　　y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x
　　y'=(a^x)lna