如图，直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线y=ax2+bx+c过A、C、O三点．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）过

网友回答

解：（1）A（6，0），B（0，6）
连接OC，由于∠AOB=90°，C为AB的中点，则，
所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）；
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点，故点C的横坐标为3；
又点C在直线y=-x+6上，故C（3，3）；
抛物线过点O，所以c=0，
又抛物线过点A、C，
所以，
解得：；
所以抛物线解析式为；

（2）OA=OB=6代入OB2=OA?OD，得OD=6；
所以OD=OB=OA，∠DBA=90°；
又点B在圆上，故DB为⊙C的切线；
（通过证相似三角形得出亦可）

（3）假设存在点P满足题意，
连接OC，因C为AB中点，O在圆上，
故∠OCA=90°，
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则∠CAP=90°或∠COP=90°，
若∠CAP=90°，则OC∥AP，
因OC的方程为y=x，
设AP方程为y=x+b；
又AP过点A（6，0），则b=-6，
方程y=x-6与联立解得：，；
故点P1坐标为（-3，-9）；
若∠COP=90°，则OP∥AC，同理可求得点P2（9，-9）；
（用抛物线的对称性求出亦可）
故存在点P1坐标为（-3，-9）和P2（9，-9）满足题意．
解析分析：（1）根据直线AB的解析式，易求得A、B的坐标，由于C是AB的中点，根据A、B的坐标即可求出C点的坐标，进而可根据O、A、C三点的坐标确定抛物线的解析式；
（2）将OA、OB的长代入所给的乘积式中，即可求出OD的长，此时发现OA=OB=OD，由此可证得△ABD是等腰直角三角形，即BD⊥AB，由此可判定DB是⊙C的切线；
（3）连接OC，在前面两题中已经证得O、C分别是AD、AB的中点，则OC是△ABD的中位线，由此可求得∠OCA=90°，若以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，可有两种情况：
①以AC、OP为底，OC为高，可先求出直线AC的解析式，由于直线OP与直线AC平行，则它们的斜率相等，由此可求出直线OP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标；
②以OC、AP为底，AC为高，方法同①．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、切线的判定、直角梯形的判定以及函数图象交点坐标的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．