计算二重积分∫∫x^2*e^-y^2dxdy、其中D是以(0、0)、(1、1)和(0,1)为顶点的三角形区域.给个算法和答案,特别是e^-y^2对y求原函数这点,
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计算二重积分∫∫x²e^(-y²)dxdy,其中D是以(0、0)、(1、1)和(0,1)为顶点的三角形区域.
【D】∫∫x²e^(-y²)dxdy=【0,1】∫e^(-y²)dy【0,y】∫x²dx
=【0,1】∫{e^(-y²)[(1/3)x³]【0,y】}dy
=【0,1】(1/3)∫[y³e^(-y²)]dy
=【0,1】(-1/6)∫y²d[e^(-y²)]
=【0,1】(-1/6)[y²e^(-y²)+∫e^(-y²)d(-y²)]
=(-1/6)[y²e^(-y²)+e^(-y²)]【0,1】
=(-1/6)[(1/e)+(1/e)-1]
=(1/6)-1/(3e).