发布时间：2021-02-18 09:10:44
（本小题满分14分）
设函数
（Ⅰ）研究函数的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：
（Ⅰ）略
（Ⅱ）p的取值范围为[1，+∞
（Ⅲ）略
【解析】解：（I），…1分
…………2分
当 上无极值点 …………4分
当p>0时，令的变化情况如下表：
| x | (0，) | ||
| + | 0 | － | |
| ↗ | 极大值 | ↘ |
从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 ………………7分
（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，…8分
此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，…9分
∴，即p的取值范围为[1，+∞ …………………10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，∴ …………11分
∴ 12分
,∴结论成立 …………………14分
另解：设函数，则，令，解得，则
∴
==（