(1)“三等分角”是数学史上一个著名问题,但数学家已经证明,仅用尺规不可能“三等分任意角”.但对于特定度数的已知角,如90°角、45°角等,是可以用尺规进行三等分的.

发布时间:2020-07-29 23:03:10

(1)“三等分角”是数学史上一个著名问题,但数学家已经证明,仅用尺规不可能“三等分任意角”.但对于特定度数的已知角,如90°角、45°角等,是可以用尺规进行三等分的.如图a,∠AOB=90°,我们在边OB上取一点C,用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD,作射线OD,再用尺规作出∠DOB的角平分线OE,则射线OD、OE将∠AOB三等分.仔细体会一下其中的道理,然后用尺规把图b中的∠MON三等分(已知∠MON=45°).(不需写作法,但需保留作图痕迹,允许适当添加文字的说明)

(2)数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法(如图c):将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上、边OA与函数y=的图象交于点P,以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,则∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法,请研究以下问题:
①设P(a,)、R(b,),求直线OM对应的函数关系式(用含a、b的代数式表示).
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上,并据此证明∠MOB=∠AOB.

网友回答

解:(1)
我们在边ON上取一点A,用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB,用尺规作出∠AOB的角平分线OC,再用尺规作出∠CON的角平分线OD,则射线OD、OC将∠MON三等分.
(2)①设直线OM的函数关系式为y=kx,P(a,)、R(b,).(1分)
则M(b,),
∴k=÷b=.(2分)
∴直线OM的函数关系式为y=x.(3分)
②∵Q的坐标(a,)、满足y=x,
∴点Q在直线OM上.
∵四边形PQRM是矩形,
∴SP=SQ=SR=SM=PR.
∴∠SQR=∠SRQ.(5分)
∵PR=2OP,
∴PS=OP=PR.
∴∠POS=∠PSO.(6分)
∵∠PSQ是△SQR的一个外角,
∴∠PSQ=2∠SQR.
∴∠POS=2∠SQR.(7分)
∵QR∥OB,
∴∠SOB=∠SQR.(8分)
∴∠POS=2∠SOB.(9分)
∴∠SOB=∠AOB.(10分)
解析分析:(1)边ON上取一点A,用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB,用尺规作出∠AOB的角平分线OC,再用尺规作出∠CON的角平分线OD,则射线OD、OC将∠MON三等分.(2)①直线OM是正比例函数,可利用所给的坐标得到M的坐标,代入函数解析式即可;②根据所给的点的坐标得到Q的坐标,看是否符合(1)中的函数解析式;运用矩形的性质,作图过程中的条件,外角与不相邻内角的关系,即可求证.

点评:本题考查了反比例函数的应用,过某个点,这个点的坐标应适合这个函数解析式.注意使用作图过程中利用的条件.
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