一道行列式计算题1.计算下列行列式 x y 0...0 00 x y...0 0.0 0 0...x yy 0 0...0 x2.设A B为n阶方阵,满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0,求|A+B|,T是转置矩阵的符号
网友回答
1.这个行列式可按行列式的定义或展开定理直接得出结果
D = x^n + (-1)^t(234...n1)y^n
= x^n + (-1)^(n-1) y^n
2.由已知,|A|^2=|B|^2 = 1
所以 |A|,|B| 等于 1 或 -1
因为 |A|+|B|=0
所以 |A||B|= -1
所以有|A+B| = - |A||A+B||B|
= - |A^T||A+B||B^T|
= - |A^TAB^T+A^TBB^T|
= - |B^T+A^T|
= - |(A+B)^T|
= - |A+B|.
所以 |A+B| = 0.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
第一题 将第一列展开
则D=x*x^(n-1) + (-1)^(n+1) y*y^(n-1)=x^n + (-1)^(n+1) y^n
第二题 由|A|+|B|=0得 |A|=- |B|
A^T(A+B)B^T=B^T +A^T =(A+B)^T
故|A^T(A+B)B^T |=|(A+B)^T|
即|A^T| |A+B| |B^T|=|A+B|
即|A| |A+B| |B|=|A+B|
得 -|A|^2 |A+B|=|A+B|
又由AA^T=E,得| AA^T|=|E| 即 |A|^2=1
故 -|A+B|=|A+B|
得|A+B|=0