已知抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10与x轴交于A、B两点,C是抛物线的顶点.
(1)用配方法求顶点C的坐标(用含m的代数式表示);
(2)若AB的长为,求抛物线的解析式;
(3)怎样平移(2)中的这条抛物线,使它在x轴上截得的线段长为4?
网友回答
解:(1)将抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10配方得,
y=[x-(m+2)]2-(4m+14),
∴C(m+2,-4m-14);
(2)设方程x2-(2m+4)x+m2-10=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=2m+4,x1?x2=m2-10,
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1?x2=(2m+4)2-4(m2-10)=16m+56,
∵AB=|x1-x2|,
∴=2,
解得m=-3,
∴抛物线的解析式y=x2+2x-1;
(3)设向下平移a个单位,抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10-a,
设方程x2-(2m+4)x+m2-10-a=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=2m+4,x1?x2=m2-10-a,
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1?x2=(2m+4)2-4(m2-10-a)=16m+56+4a,
∵AB=|x1-x2|,
∴=4,
解得a=2,
∴向下平移2个单位.
解析分析:(1)将y=x2-(2m+4)x+m2-10配方,化成y=a(x-h)2+k的形式,(h,k)即为顶点C的坐标,
(2)设方程x2-(2m+4)x+m2-10=0的两根为x1,x2,则AB=|x1-x2|,根据根与系数的关系,可求得x1+x2和x1?x2,求出m的值,从而得出抛物线的解析式;
(3)设向下平移a个单位,抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10-a,即AB的长为4,由(2)得出a的值.
点评:本题考查了抛物线和x轴的交点问题,二次函数的性质以及图形与几何变换,是中考压轴题,难度偏大.