发布时间：2021-02-18 13:21:59
(本小题满分14分)
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=其中λ为实数，n为正整数。
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和。是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有
a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）见解析。
（Ⅲ）
（Ⅰ）证明；假设存在一个实数，使是等比数列，则有，
即矛盾。
所以不是等比数列。
（Ⅱ）解：因为
又，所以
当时，些时不是等比数列；
当时，由上可知。
故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b对任意正整数n成立，
即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)
①
当n为正奇数时，1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+18),<
当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。
第（Ⅰ）问问的是证明 “不是等比数列”，这样的问题显然用“反证法”；第（Ⅱ）正着问，那就顺着推；第（Ⅲ）问要先求和再解建立不等式。