已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3-α2β-αβ2+β3=0，求证：p=0，q＜0．

网友回答

证明：∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-p，αβ=q；
∵α3-α2β-αβ2+β3=0，
∴α3-α2β-αβ2+β3=（α-β）2（α+β）=0；
∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴α≠β，
∴α-β≠0，
∴α+β=-p=0，△=p2-4q＞0；
∴p=0，-4q＞0，
∴q＜0．

解析分析：根据根与系数是关系求得α+β=-p，根据根的判别式求得△=p2-4q＞0；然后利用完全平方公式将α3-α2β-αβ2+β3=0变形得α3-α2β-αβ2+β3=（α-β）2（α+β）=0，所以α+β=-p=0，所以-4p＞0，即p＜0．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．