解答题已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．
网友回答
解：（1）由已知可得?b=2，，…（2分）
∴所求椭圆方程为．??????????????????????????????…（4分）
（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则?????????????????????…（6分）
由，得x1=2x，y1=2y-2代入上式得??????…（10分）
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．
设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0．??????…（11分）
则，．
∵k1+k2=8，∴+=8，
∴2k+（m-2）×=8．????????????????????????????????…（12分）
∴k-=4，整理得m=．
故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）-2．
所以直线AB过定点（，-2）．????????????????????????????…（14分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，
设A（x0，y0），B（x0，-y0），
由已知+=8，得x0=-．
此时AB方程为x=-，显然过点（，-2）．????????????????????????????
综上，直线AB过定点（，-2）．????????????????????????????…（16分）解析分析：（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k1+k2=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，求出直线AB的方程，即可得到结论．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，正确运用韦达定理是关键．