发布时间：2021-02-18 11:24:28
(12分）
如图，三棱锥P―ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
（Ⅰ） 求证：AB平面PCB；
（Ⅱ）求异面直线AP与BC所成角的大小；
(Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
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解析：解法一：
(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．
∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB． …………………………2分
又，∴AB平面PCB． ……………………… 4分
(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．
则为异面直线PA与BC所成的角．………5分
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．
由三垂线定理，得PFAF．
则AF=CF=，PF=，
在中， tan∠PAF==，
∴异面直线PA与BC所成的角为． ……………………………8分
（III）取AP的中点E，连结CE、DE．
∵PC=AC=2， ∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB， 由三垂线定理的逆定理，得 DEPA．
∴为二面角C-PA-B的平面角． …………………………………10分
由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在中，PB=，
．
在中， cos=．
∴二面角C-PA-B大小的余弦值为. …………………………12分
解法二：（I）同解法一． ………4分
(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．
以B为原点，如图建立坐标系．
则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，．…6分
则+0+0=2．
== ．
∴异面直线AP与BC所成的角为． …………………………8分
（III）设平面PAB的法向量为= (x，y，z)．
，，
则 即
解得 令= -1, 得 = (，0，-1)． …………………10分
设平面PAC的法向量为=()．
，，
则 即
解得 令=1, 得 = (1，1，0)．
=．
∴二面角C-PA-B大小的余弦值为． ……………………12分
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