幂函数的公式,常用的全面的幂级数展开公式

网友回答

幂函数的一般形式为y=x^a。
　　　　如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。
　　　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
　　　　首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
　　　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
　　　　排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；
　　　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
　　　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
　　　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
　　　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
　　　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
　　　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
　　　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。
　　　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，
　　　　必须指出的是，当x<0时，幂函数存在一个相当棘手的内在矛盾：[x^(a/b)]^(c/d)、[x^(c/d)]^(a/b)、x^(ac/bd)这三者相等吗？若p/q是ac/bd的既约分数，x^(ac/bd)与x^(p/q)以及x^(kp/kq)（k为正整数）又能相等吗？也就是说，在x<0时，幂函数值的唯一性与幂指数的运算法则发生不可调和的冲突。对此，现在有两种观点：一种坚持通过约定既约分数来处理这一矛盾，能很好解决幂函数值的唯一性问题，但米指数的运算法则较难维系；另一种观点则认为，直接取消x<0这种情况，即规定幂函数的定义域为[0，+∞）或（0，+∞）。看来这一问题有待专家学者们认真讨论后予以解决。
　　　　因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
　　　　可以看到：
　　　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
　　　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
　　　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
　　　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
　　　　（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
　　　　（6）显然幂函数无界限。

网友回答

展开公式如图：
　　扩展资料：
　　幂函数的性质：
　　一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：
　　1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。
　　2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。
　　3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
　　4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
　　二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
　　1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。
　　2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。
　　3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。
　　4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
　　三、当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。
　　参考资料来源：百度百科-幂函数