已知函数f（x）=ax，g（x）=a2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若a＞1，记

网友回答

解：（Ⅰ）∵当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为，
∴a+a-1=，∴a=2或a=；
（Ⅱ）函数h（x）=g（x）-2mf（x）=22x+m-2m×2x=（2x-m）2+m-m2，
∵x∈[0，1]，∴2x∈[1，2]
∴①m＜1时，函数在[1，2]上单调递增，h（x）的最小值H（m）=h（0）=1-m；?
②1≤m≤2时，函数在[1，m]上单调递减，在[m，2]上单调递增，h（x）的最小值H（m）=h（m）=m-m2；
③m＞2时，函数在[1，2]上单调递减，h（x）的最小值H（m）=h（1）=m；
（Ⅲ）若a＞1，不等式在x∈[0，1]恒成立，等价于|1-m（2x+）|≤1
即0≤m（2x+）≤1
所以①m≤0时，，无解；
②0＜m＜2时，，∴0＜m＜2；
③m≥2时，，无解
综上，m的取值范围为（0，2）．

解析分析：（Ⅰ）利用当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为，可得a+a-1=，由此可得a的值；（Ⅱ）利用配方法，结合2x∈[1，2]，分类讨论，确定函数的单调性，即可求h（x）的最小值H（m）；?（Ⅲ）若a＞1，不等式在x∈[0，1]恒成立，等价于|1-m（2x+）|≤1，即0≤m（2x+）≤1，分类讨论确定函数的最值，建立不等式，即可求m的取值范围．

点评：本题考查函数的最值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．