如图,⊙O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,
(1)求BC,AD,BD的长.
(2)若∠ABD的角平分线交⊙O于E,EF∥AD,求证直线EF是⊙O的切线.
网友回答
解:(1)∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=10cm,AC=6cm
∴BC2=AB2-AC2=102-62=64
∴BC==8(cm)
又∵CD平分∠ACB
∴
∴AD=BD
又∵在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2
∴AD2+BD2=102
∴AD=BD==5(cm);
(2)证明:连接OE,交AD与H,
∵BE平分∠ABF,
∴∠ABE=∠FBE,
∵OB=OE,
∴∠OEB=∠ABE,
∴∠OEB=∠FBE,
∴OE∥BF,
∴∠OHD=∠ADB=90°,
∵EF∥AD,
∴∠OEF=90°,
∴直线EF是⊙O的切线.
解析分析:(1)根据直径所对的角是90°,判断出△ABC和△ABD是直角三角形,根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D,判断出△ADB为等腰直角三角形,然后根据勾股定理求出具体值;
(2)连接OE,要证明直线EF是⊙O的切线,需要转化证明∠OEF=90°即可.
点评:本题考查了等腰直角三角形、圆周角定理以及勾股定理,以及切线的判定定理是基础知识比较简单.