如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④

网友回答

C
解析分析：根据角平分线定义求出∠ABE=∠EBC=∠C，根据等角对等边求出BE=CE，即可判断①；证△ABE∽△ACB，推出AB2=AE×AC，求出AF2=AB2-BF2=AE2-EF2，把 AB2=AE×AC代入入上式即可求出BF=AE+EF，即可判断②；延长AB到N，使BN=BM，连接MN，证△AMC≌△AMN，△AFB≌△BLF，推出AB=BL，即可判断③；设∠LAC=x°，∠LAM=y°，则∠BAM=∠MAC=（x+y）°，证△AFB≌△BLF推出∠BAF=∠BLF，∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，得出方程x°+y°+y°=∠C+x°，求出∠C=2y°，∠ABC=4y°，即可判断④．

解答：解：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE=∠ABC，∵∠ABC=2∠C，∴∠ABE=∠EBC=∠C，∴BE=EC，∴①正确；∵∠ABE=∠ACB，∠BAC=∠EAB? ∴△ABE∽△ACB，∴=，∴AB2=AE×AC，在Rt△AFB与Rt△AFE中，由勾股定理得：AF2=AB2-BF2=AE2-EF2，把 AB2=AE×AC代入入上式得：AE×AC-BF2=AE2-EF2，则BF2=AC×AE-AE2+EF2=AE×（AC-AE）+EF2=AE×EC+EF2=AE×BE+EF2，即（BE-EF）2=AE×BE+EF2，∴BE2-2BE×EF+EF2=AE×BE+EF2，∴BE2-2BE×EF=AE×BE，∴BE-2EF=AE，BE-EF=AE+EF，即BF=AE+EF，∴②正确； 延长AB到N，使BN=BM，连接MN，则△BMN为等腰三角形，∴∠BNM=∠BMN，△BNM的一个外角∠ABC=∠BNM+∠BMN=2∠BNM，则∠BNM=∠ACB，在△AMC与△AMN中，∴△AMC≌△AMN（AAS），∴AN=AC=AB+BN=AB+BM，又∵AL⊥BE，∴∠AFB=∠LFB=90°，?在△AFB与△LFB中，，∴△AFB≌△BLF（ASA），∴AB=BL，则AN=AC=AB+BN=AB+BM=BM+BL，即AC=BM+BL，∴③正确；设∠LAC=x°，∠LAM=y°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠MAC=（x+y）°．∵△AFB≌△BLF，∴∠BAF=∠BLF，∵∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，∴x°+y°+y°=∠C+x°，∴∠C=2y°，∵∠ABC=2∠C，∴∠ABC=4y°，即∠MAL=∠ABC，∴④正确．故选C．

点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用．